선형 연립 방정식

선형방정식과 해

미지수 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$의 선형방정식이란 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b$로 바꿀 수 있는 방정식을 말한다.

이 선형방정식의 해는 $x_{1}=k_{1},x_{2}=k_{2},...,x_{n}=k_{n}$ 또는 $u=(k_{1},k_{2},...,k_{n})\in \mathbb{K}^{n}$로서, 선형 방정식의 $x_{i}$에 $k_{i}$를 대입하였을때  $a_{1}k_{1}+a_{2}k_{2}+...+a_{n}k_{n}=b$를 만족시키며 이 경우 $u$가 이 방정식을 만족시킨다고 한다. 

 

선형 연립 방정식

선형 연립방정식이란 똑같은 미지수를 가지는 선형 방정식의 나열이다. 이는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

$$a_{11}k_{1}+a_{12}k_{2}+...+a_{1n}k_{n}=b_{1}$$

$$a_{21}k_{1}+a_{22}k_{2}+...+a_{2n}k_{n}=b_{2}$$

$$...$$

$$a_{m1}k_{1}+a_{m2}k_{2}+...+a_{mn}k_{n}=b_{m}$$

위의 연립방정식을 $m\times n$시스템이라고 하며 만약 $m=n$이라면 정방 시스템이라한다.

위의 연립방정식에서 $b_{i}$가 모두 0이면 동차방정식이라 하고, $b_{i}$중 하나라도 0이 아니면 비동차방정식이라 한다.

 

퇴화 선형 방정식

모든 계수들이 0인 선형방정식을 퇴화 선형 방정식이라고 한다.

 

동치인 연립방정식과 기본 연산

n개의 미지수와 ,개의 선형 방정식을 가지는 각각의 선형연립방정식에 $c_{1},c_{2},...,c{3}$를 곱한후 모두 더하면 다음과 같은 방정식을 만들 수 있다. 

$$(c_{1}a_{11}+c_{2}a_{21}+...+c_{m}a_{m1}+)x_{1}+...+c_{1}a_{1n}+...+c_{m}a_{mn})x_{n}=c_1b_1+c_2b_2+...+c_mb_m$$

위 식을 연립방정식의 선형결합이라고 한다. 이 식을 $L$이라고 할때 선형연립방정식의 해는 선형결합 $L$의 해이다.

 

기본 행 연산

1. 두 방정식을 교환한다.

2. 한 방정식을 상수배 한다.

3. 다른 방정식을 상수배 하여 자기 자신과 합한 후 자신과 바꾼다, 즉 $L_i$를 $kL_j+L_i$로 바꾼다.

 

미지수가 2개인 선형 연립 방정식

2개의 선형 연립방정식 $A_1x+B_1y=C_1,A_2x+B_2y=C_2$에서 한개의 해를 가질 필요충분조건은 다음과 같다.

$$\begin{vmatrix}A_1&B_1  \\A_2&B_2  \\\end{vmatrix}=A_1B_2-A_2B_1\neq 0$$