파푸스 굴딘 정리, 무게중심 구하기_[1]

이번 시간에는 파푸스 굴딘 정리에 대하여 알아보도록 하자.

이 방법을 사용하게 되면 축을 기준으로 회전한 물체의 부피에 대하여 자세히 알 수 있다.

파푸스 굴딘 정리란 평면 위에 넓이가 A인 물체가 있다. 이 물체의 무게중심에서 d만큼 떨어진 직선을 축으로 회전시킨 입체의 부피 v는 

$$V=2\pi dA$$

로 나타낼 수 있다.

 

이를 증명하려면 우선 무게중심을 구하는 방법에 대하여 알아야 한다.

$$\overline{x}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$

$$m\overline{x}={m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}$$

(단 \(m={m_{1}+m_{2}}\))

이를 n개의 물체로 확장시켜 주면

$$m\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}\Leftrightarrow \overline{x}\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}m_{i}}$$

로 나타낼 수 있으며 이는 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다. 이는 생략하도록 하겠다.

마찬가지로 y의 값에도 적용을 해 주면

$$m\overline{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}\Leftrightarrow \overline{y}\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}y_{i}}{\sum_{i=1}^{n}m_{i}}$$

임을 알 수 있다.

 

그렇다면 이제부터 평면 영역에서의 무게중심을 구해보도록 하자

임의의 함수 \(f(x)\)에 대하여  \(f(x)\)가 x축과 직선 \(x=a\)와 직선\(y=b\)와 만나 생기는 면적을 S라고 할 때 면적 S를 n개의 직사각형으로 무수히 나누어 보자

쪼갠 직사각형들 중에서 i번째 직사각형을 \(R_{i}\)라고 할 때 \(R_{i}\)의 무게중심은 직사각형의 중심이므로 무게중심은 \((\overline{x},\frac{1}{2}f(\overline{x_{i}}))\)이다.

이를 이용하여 질량을 구하면 \(R_{i}\)의 질량은 밀도 X 넓이 = \(\rho f(\overline{x_{i}})\Delta x\)이다.

이를 동형 도형 S의 질량은 \(\rho \int_{a}^{b}f(x)dx\)이다.

그러면 이제 위에서 구하였던

$$m\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}\Leftrightarrow \overline{x}\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}m_{i}}$$

$$m\overline{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}\Leftrightarrow \overline{y}\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}y_{i}}{\sum_{i=1}^{n}m_{i}}$$

에 앞서 구한 질량 값을 넣어주면

$$\left (  \rho \int_{a}^{b}f(x)dx\right )\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}\left \{ \left ( \rho f(\overline{x_{i}})\Delta x \right )\overline{x_{i}} \right \}$$

$$\left (  \rho \int_{a}^{b}f(x)dx\right )\overline{y}=\sum_{i=1}^{n}\left \{ \left ( \rho f(\overline{x_{i}})\Delta x \right )\frac{1}{2}f(\overline{x_{i}}) \right \}$$

의 값이 성립하게 된다.

이 식을 \(n\rightarrow \infty \)를 하도록 하면

$$\left [ \frac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx},\frac{\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left \{ f(x) \right \}^{2}dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx} \right ]$$

이 나오게 된다.

 

자 그렇다면 임의의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)에 대하여 직선 \(x=a\)와 직선\(y=b\)와 만나 생기는 면적을 S라고 할 때 면적 S의 무게중심을 구해보도록 하자. 설명은 생략하도록 하겠다.

무게중심은 \(\left ( \overline{x_{i}},\frac{f(x)+g(x)}{2} \right )\)이다.

면적 S의 질량은 \(\rho \left \{  {f(\overline{x_{i}})-g(\overline{x_{i}})}\right \}\Delta x\)이다.

앞서 구한 방식을 통하여 무게중심의 좌표를 구해보면

$$\left [ \frac{\int_{a}^{b}x\left \{ f(x)-g(x) \right \}dx}{\int_{a}^{b}\left \{ f(x)-g(x) \right \}dx},\frac{\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left \{ (f(x)^{2}-g(x)^{2}) \right \}dx}{\int_{a}^{b}\left \{ f(x)-g(x) \right \}dx} \right ]$$이다.

 

파푸스 굴딘 정리는 다음 시간에 해보도록 하겠다....