파푸스 굴딘 정리, 무게중심 구하기_[2]

자 이번 시간에는 파푸스 굴딘 정리에 대하여 알아보도록 하자.

저번 시간에 증명해보았던 무게중심 공식에 대하여 다시 한번 복습해보자.

 

1. 임의의 함수\(f(x)\)에 대하여  \(f(x)\)가 x축과 직선 \(x=a\)와 직선\(y=b\)와 만나 생기는 면적을 S라고 할 때의 무게중심

$$\left [ \frac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx},\frac{\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left \{ f(x) \right \}^{2}dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx} \right ]$$

 

2. 임의의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)에 대하여 직선 \(x=a\)와 직선\(y=b\)와 만나 생기는 면적을 S라고 할 때의 무게중심

$$\left [ \frac{\int_{a}^{b}x\left \{ f(x)-g(x) \right \}dx}{\int_{a}^{b}\left \{ f(x)-g(x) \right \}dx},\frac{\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left \{ (f(x)^{2}-g(x)^{2}) \right \}dx}{\int_{a}^{b}\left \{ f(x)-g(x) \right \}dx} \right ]$$

 

기억이 잘 나지 않는다면 파푸스 굴딘 정리, 무게중심 구하기_[1]를 참고해보도록 하자

 

지금부터 파푸스 굴딘 정리를 알아보도록 하자.

1. x축에 대하여 회전할 때 회전체의 부피는 

$$V=\int_{a}^{b}\pi f(x)^{2}dx$$이다.

무게중심 좌표에서 y좌표를 대입을 해주면 

$$V=\int_{a}^{b}\pi f(x)^{2}dx =2\pi\int_{a}^{b}\frac{1}{2}f(x)^2dx = 2\pi\overline{y} A$$

임을 알 수 있다.

 

2.y축에 대하여 회전할 때 회전체의 부피는

$$V=\int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx$$

무게중심 좌표에서 x좌표를 대입을 해주면

$$V=\int_{a}^{b}2\pi f(x)dx =2\pi\int_{a}^{b}xf(x)dx = 2\pi\overline{x}A$$

임을 알 수 있다.