수학/증명4 파푸스 굴딘 정리, 무게중심 구하기_[2] 자 이번 시간에는 파푸스 굴딘 정리에 대하여 알아보도록 하자. 저번 시간에 증명해보았던 무게중심 공식에 대하여 다시 한번 복습해보자. 1. 임의의 함수\(f(x)\)에 대하여 \(f(x)\)가 x축과 직선 \(x=a\)와 직선\(y=b\)와 만나 생기는 면적을 S라고 할 때의 무게중심 $$\left [ \frac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx},\frac{\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left \{ f(x) \right \}^{2}dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx} \right ]$$ 2. 임의의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)에 대하여 직선 \(x=a\)와 직선\(y=b\)와 만나 생기는 면적을 S라고 할 때의 무게중심 $$\left .. 2021. 8. 9. 파푸스 굴딘 정리, 무게중심 구하기_[1] 이번 시간에는 파푸스 굴딘 정리에 대하여 알아보도록 하자. 이 방법을 사용하게 되면 축을 기준으로 회전한 물체의 부피에 대하여 자세히 알 수 있다. 파푸스 굴딘 정리란 평면 위에 넓이가 A인 물체가 있다. 이 물체의 무게중심에서 d만큼 떨어진 직선을 축으로 회전시킨 입체의 부피 v는 $$V=2\pi dA$$ 로 나타낼 수 있다. 이를 증명하려면 우선 무게중심을 구하는 방법에 대하여 알아야 한다. $$\overline{x}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$ $$m\overline{x}={m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}$$ (단 \(m={m_{1}+m_{2}}\)) 이를 n개의 물체로 확장시켜 주면 $$m\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}m.. 2021. 8. 9. 카발리에리의 원리 카발리에리의 원리에 대하여 알아보자. 카발리에리의 원리를 알게 된다면 적분 없이도 넓이나 부피에 대하여 알 수 있다!! 카발리에리의 원리는 넓이와 부피로 나누어 구분할 수 있다. 1. 두 평면도형이 한 쌍의 평행선 사이에 끼여 있고 이 평행선들과 평행한 임의의 선으로 두 평면도형을 잘랐을 때 생기는 두 선분의 길이가 항상 일정한 비를 이루면, 두 평면 도형의 넓이 또한 그 비를 이룬다. 2. 두 입체도형이 한쌍의 평행한 평면 사이에 끼여 있고 이 평면들과 평행한 임의의 평면으로 두 입체도형을 잘랐을 때 생기는 두 단면의 넓이가 항상 일정한 비를 이루면, 두 입체도형의 부피 또한 그 비를 이룬다. 자 그렇다면 이제부터 증명을 해보도록 하자 $$h(x)-g(x) : f(x) = m:n$$ $$\int_{a}.. 2021. 8. 8. 타원의 넓이 증명 타원의 넓이를 증명해 보자 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$ $$y^{2}=b^{2}(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})$$ $$y=\pm \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$ $$S=2\int_{-a}^{a}b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}dx$$ $$4\int_{0}^{a}b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}dx$$ $$x=acos\theta$$ $$1=acos\frac{d\theta}{dx}$$ $$dx=acosd\theta$$ $$S=4b\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\frac{a^{2}sin^{2}\theta}{a^{2}}}acos\theta d\theta$$ $.. 2021. 8. 7. 이전 1 다음
